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Kosniowsky: Introduzione alla Topologia Algebrica
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Questo libro, scritto da un punto di vista geometrico e ampliamente illustrato (dopo tutto, la topologia è una branca della geometria), permette di comporre un certo numero di corsi. Si è cercato di evitare l'astrazione per quanto possibile, introducendo per lo più i concetti nuovi in modo elementare; il bagaglio di nozioni preliminari richiesto al lettore e stato ridotto al minimo, e non si è presupposta la conoscenza della topologia generale. Ciò rende il libro particolarmente adatto per un primo corso di topologia orientato soprattutto verso la topologia algebrica: il docente potra servirsene per impostare con molta liberta un corso di primo o di secondo biennio. Ogni capitolo e corredato di numerosi esercizi, opportunamente graduati per agevolare e stimolare lo studente; naturalmente sara bene svolgere il maggior numero possibile di esercizi, ma non e indispensabile conoscerne le solazioni per comprendere il testo, tranne rari casi esplicitamente indicati. Circa un quarto del volume è dedicato alla topologia generale ed il rimanente alla topologia algebrica. Nella prima parte ho evitato le consuete "patologie", cercando di sviluppare soltanto la teoria necessaria per consentire al lettore di arrivare al più presto alla parte "interessante" della topologia. Nella seconda parte ho dato risalto soprattutto al gruppo fondamentale: in genere gli studenti si impadroniscono rapidamente di questo concetto, che offre loro buone possibilità di penetrare nel vivo della topologia algebrica. La teoria dei rivestimenti ed il teorema di Seifert-Van Kampen sono stati svolti nei particolari ed utilizzati per calcolare i vari gruppi fondamentali. Fra gli argomento toccati ci sono le varietà e le superfici, il teorema della curva di Jordan, la teoria dei nodi e un capitolo introduttivo sull'omologia singolare. Indice: Gruppi e insiemi; Spazi metrici; Spazi topologici; Funzioni continue; Topologia indotta; Topologia queziente (e azioni di gruppi); Spazi prodotto; Spazi compatti; Spazi di Hauedorff; Spazi connessi; Suddivisioni di regioni piane; Varietà e superfici; Archi e spazi connessi per archi; Il teorema della curve di Jordan; Omotopia tra funzioni continue; Prodotti di cammini; Il gruppo fondamentale; II gruppo fondamentale della circonferenza; Rivestimenti; Rivestimenti e gruppo fondamentale; Il gruppo fondamentale di uno spazio di orbite; Applicazioni (teorema di Borsuk-Ulam); Teorema di sollevamento per i rivestimenti; Teoremi di esistenza per i rivestimenti; Il teorema di Seifert-Van Kampen: (I) Generatori; Il teorema di Seifert-Van Kampen: II) Relazioni; Il teorema di Seifert-Van Kampen: III) Applicazioni; Il gruppo fondamentale di una superficie; Teoria dei nodi: I) Nodi torali; Teoria dei nodi: II) Nodi semplici; Appendice Tavola di nodi; Introduzione sull'omologia singolare. |